《对青年数学家的建议》摘录的摘录

《对青年数学家的建议》摘录的摘录

只有平庸之辈才对自己的能力极为自信。你越强,你为自己所定的标准就越高——你能看见的工作超过自己手上研究的工作。许多未来的数学家会对于别的方向也有才能,也有兴趣,在开始数学生涯和从事其它事业之间会有艰难的抉择。伟大的Gauss曾在数学和语言学间动摇不定是出了名的,Pascal在年纪很轻时就放弃了数学而从事神学,而Descartes和Leibniz都同时以哲学家知名。也有些数学家如Dyson后来转变成物理学家,而另一些如Chandra和Bott则走了相反的路。

过分孤立和内省都是危险的,把时间花在看起来无所谓的谈天上,并不真是浪费时间。

多年来我建立了一系列的来自很多领域的例子,它们是一些能够做具体计算的例子,有助于使得一般理论容易理解。这些例子使你能够脚踏实地……一个好的例子是一个美丽的东西,它光芒四射又能说服人,它给人以洞察和理解,它是信念的基石。

如果把数学研究和作出证明等同起来,那就错了。事实上,可以说数学研究的真正创造性的侧面是在证明阶段之前……如果把数学比喻成演戏,那么,就需要从思想开始,然后发展故事情节,写出对话,给出表演的指示,真正的演出才可以看成是证明,就是思想的执行……证明是创造性的想象力和批判性的推理间长期相互作用的最终产物。一个计划如果没有证明就是不完全的,但是没有有想象力的输入,这个计划就不可能启动。

一个好的问题是有前提条件的:它是在某个背景下产生的,有自己的根。要想得到进展,就得要懂得这些根。自己找到的问题总是更好,这就是理由的所在。你应该去自己找问题,问自己找到的问题,而不是导师放在盘子里给你的问题。如果你知道问题是从哪来的,知道为什么要问这样的问题,就已经在求解的道路上走了一半。

不要把“初等”和“容易”混为一谈……事实上,有许多定理为例,只要稍微精密复杂一点,就能使它的证明容易懂得多,而且把深藏其下的思想拿出来,而一个避免使用更复杂概念的初等处理反而会把正在进行的过程隐藏起来。同时,也要避免把细微精密与高质量等同起来……以为使用了别出心裁的、复杂的语言就意味着在做深刻的工作。
如果你对于挫败感不习惯的话,数学就可能对你不是一个理想的职业。