高斯、黎曼与希尔伯特——兼谈哥廷根数学学派讲座笔记

相关人物

早年中国第四次数论会议,与张益唐教授一同参加。

哥廷根与德意志

音乐、哲学与数学取得比较大的成就,蔡教授评,共同点时抽象性,或许是艺术、社会科学、自然科学(理学)三个领域最抽象的学科取得了比较大的成就。

晚熟,1871 年俾斯麦统一德国,甚至比美利坚合众国成立还要晚上近 100 年。

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  • 汉诺威王国
  • 数学王子高斯
  • 黎曼
  • 最后的通才:希尔伯特
  • 总结

大学城哥廷根

哥廷根区首府,莱讷河流经。蔡教授最长一次访问,和罗马尼亚裔数学家米哈伊列斯库进行交流,

(卡塔兰猜想,米哈伊列斯库定理 2002 证明

关于汉诺威与哥廷根。汉诺威曾是德意志民族仅次于奥地利、普鲁士、巴伐利亚的第四大邦国。汉诺威曾长期与英国联姻并共有国王,起初因英王无子嗣,由近亲的汉诺威王兼任,结果连续五位国王,移驾英国,包括乔治二世,也是他见到了英国的著名大学因而在汉诺威境内建立起哥廷根大学。

莱布尼兹最后三十年在汉诺威生活,在他建议下建立起柏林科学院,给哥廷根周围区域再度带来光辉。

数学院,与物理学院(马普-奥本海姆

数学王子高斯

高斯故居威廉街,无需地图,打听路人。原属教区,现在划归市区,房子有人住,外面写着 1777 年高斯出生于此。

素数定理(19 世纪的大白鲨

即当 x 趋于,不超过 x 的素数接近$x/lnx$

高斯的奇迹年(1796)

  • 3 月 30 日,正多边形作图理论,费尔马素数
  • 4 月 8 日,首次证明二次互反律
  • 5 月 31 日,提出素数定理的猜想
  • 7 月 10 日,证明费尔马的三角形数猜想
  • 10 月 1 日

高斯还是有一定浪漫主义色彩,和雪莱等诗人同一时代

“数论是数学的女王

高斯的母校是同属下萨克森州的黑尔姆斯泰特大学,后来并入哥廷根大学。

“完美、严密、逻辑”

高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品,“当一栋建筑物完成时,应该把脚手架拆除干净”

“宁肯少些,但要成熟”

本可能是他独创的非欧几何学、最小二乘法,因为没有快速发表,所以后世与他人共享发现。

黎曼——一颗辉耀之心

高斯(1777-1855)

黎曼(1826-1866)

生前之发表了十篇论文,但却在复变函数、几何学、数论等都都奠定了重要的基础,黎曼猜想被公认为最重要的猜想之一。还有黎曼几何学(广义相对论的基础)

黎曼引进度量、子流形和曲率的概念,他尤其关注“常曲率空间”,即每一点上曲率都相等的流形。关注曲率为正、为负、为零。负对应罗巴切夫几何,零对应欧式几何,而为正则对应黎曼几何。

黎曼猜想

黎曼猜想与素数定理

1893 年,冯·曼格尔特提出一个弱的黎曼猜想可以证明素数定理。就这样被推到了前台。

希尔伯特:最后一个百事通

  • 1866 年,黎曼在意大利逝世
  • 1886 年,克莱因来哥廷根
  • ,希尔伯特

成为领袖

希尔伯特的性格和高斯、黎曼不同,保留了对散步、旅行和跳舞的爱好,不乏陪伴,而且有一个教育家的品格,有着耐心细致的品格和对教育学的浓厚兴趣,并不十分看中天分。

世界的数学中心

哥廷根大学数学研究院,在影响下后来的普林斯顿高等研究院等等都有联系。

素数 23

希尔伯特的二十三个问题

哥廷根的传统

在德国数学家高斯的一部传记中,作者引用下面这段话:

有一个异乡人在巴黎问当地人,“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家?”

巴黎人回答:“因为我们最优秀的人学习数学。”