集论悖论与基础危机

集论悖论与基础危机

(摘自《数学基础》,汪芳庭编著)

分析的算术化完成之后,人们欣喜地认为,数学已经有了可靠的基础。在 1900 年的国际数学家大会上,法国数学家,物理学家庞加莱断言:“今天分析领域中只剩下了整数,及整数的又有穷和无穷系统,它们由相等或不相等的关系网联结着。”他进而说:“今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了!”

庞加莱的语音刚落,歌舞升平的数学王国在它的基础部分骤起一场风暴,新问题出现在当时已被人们渐渐接受但仍存有争议的集论中。

什么是集?按康托尔的说法,“把人们直观的或想象的一些确定的、可区分的对象汇总在一起成一整体,便是一个集”。康托尔给出的这一朴素的集的概念未能避免出现混乱。如果我们把若干集作为元素放在一起,那么可以形成另一个集,试问:把所有的集汇总在一起成一整体,不也构成了一个集吗?设这个集是$V$,则$V \in V$。当然仅从这一点,表面上还看不出有什么矛盾。1897 年,意大利数学家布拉利-福尔蒂发现了最大序数悖论(后被称为 Burali-Forti 悖论)。这一悖论,也已被康托尔于 1895 年发现并曾通知希尔伯特。1899 年,康托尔又将他发现的最大基数悖论写信告诉了戴德金。这些悖论并未立即引起人们的注意,它们涉及集论比较专业的知识,似乎是由于技术上考虑不周而出了点毛病而已。

1901 年,罗素在对“由所有集组成的集”进行深入思考之后,发现了下面有名的悖论:

现问:是$b \in b$,还是$b \notin b$?不论怎么回答都立即导致矛盾:

罗素悖论的上述表述十分简单且明白无误,与在它前后陆续发现的其他一些悖论相比,涉及的概念既简单又根本,引起的震动也最大。这一悖论点燃了导致数学基础新危机的导火索。(罗素本人后来给这个悖论一个通俗比喻:理发师悖论。村里一位理发师称,他要给且只给村里所有那些不给自己理发的人理发,现问理发师:给不给自己理发?)

罗素悖论出现后,戴德金立即推迟印行他的关于数与连续性的著作第三版。弗雷格在 1902 年给罗素的回信中说:“你发现的悖论引起我极大的震惊,因为它动摇了我打算建立算术的基础。”同一年弗雷格在一份书稿的后记中写道:“在工作结束之后而发现那大厦的基础已经动摇,对于一个科学工作者来说,没有比这更为不幸的了。”

罗素悖论为什么会引起震动?这是因为形成该悖论所使用的方法 ,如用某条性质来定义某个集合等方法在数学中是很常用的,原被认为是毫无问题的,现在也居然被发现有问题,数学所依赖的基本思维方法竟然也有不可靠的,于是不安全的阴影又在数学中出现了。

罗素悖论本质上是逻辑的悖论,或者说它是一种逻辑数学悖论。“一个悖论如此直接地涉及两门最精确的科学,而且还出现在如此基础的地方,这的确是从来没有过的事情。”逻辑只有磨尖到一定程度才可能发现自身的这种矛盾

历史上出现过的几次基础危机都与无限、实数等概念有关,它们的最终解决是依赖于集论的,所以说,数学基础的这次新危机事实上是以前各次危机的继续,其影响更深、更广。

下面是 20 世纪里对基础研究作出过杰出贡献的几位数学家对集论悖论与基础危机的评论。

罗素从康托尔的集合论所导致的悖论中剥去了一切数学上的技术性细节,从而揭示了这样一个惊人的事实,即我们的逻辑直觉(诸如关于真理、概念、存在、集合等这样一些概念的直觉)是自相矛盾的。——哥德尔:《罗素的数理逻辑》

促使我们谈及第三次基础危机的,远远不只是悖论在集合论基础、从而也就是在分析中的出现,而主要是由于以下的事实:在克服悖论的各种尝试中,揭示了许多在最基本的教学概念(诸如自然数的概念)和一件上的深刻的令人吃惊的分歧。——弗伦克尔,巴-希勒尔:《集合论基础》

必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?——希尔伯特:《论无限》